Đổi blog

Từ giờ blog này sẽ trở thành dĩ vãng 😀 Mình đổi sang blog này. Mình muốn kiến thức Toán học của mình được dùng vào những việc có ích hơn là khoái lạc cá nhân của bản thân. Thành ra rất nhiều bài viết liên quan tới lời khuyên Toán học hay phương pháp học trước kia, bạn đọc nên đọc với thái độ chọn lọc. Từ khoảng giữa năm 2014, mình bắt đầu tiếp thu được nhiều kiến thức lý luận có ích cho việc kiến giải nhiều vấn đề thuộc về xã hội, liên quan mật thiết tới công việc thường ngày của mình. Vì thế lập blog mới để viết cho bài bản.

Đăng tải tại Uncategorized | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Về khái niệm diện tích

Người ta tìm ra khái niệm diện tích như thế nào? Cái này thuần túy dự đoán.

– có lẽ là từ quá trình lao động: ví dụ cuốc đất, cày ruộng. Một người làm đều tay, thì 1 mét vuông đất nào cũng có thời gian tương tự nhau. Như vậy dùng giờ lao động để “đo” mảnh ruộng là có thể xảy ra. Thật ra trong Bộ Tư bản của Marx phần đầu cũng có nói tới chuyện một số bộ tộc dùng giờ để đo giá trị lao động hàng ngày. Đấy cũng là cách duy nhất nếu họ không có thước hay công cụ nào khác để đo lường. Và đơn giản là họ còn chẳng biết đo lường phức tạp tới thế.

– hai là từ trao đổi hàng hóa. Tức là kinh tế phải phát triển tới mức độ nhất định. Hàng hóa được trao đổi trên cơ sở ngang giá trị (giá trị là khái niệm trong bộ Tư bản của Marx, không bàn khái niệm giá trị của tác giả khác). Khi đó nhu cầu phải có khái niệm diện tích là đương nhiên. Ví dụ nếu muốn bán ruộng, hoặc thuê ruộng, hoặc cày hộ, thì phải có diện tích. Mà khái niệm này phải phù hợp, phải có lý, thì người ta mới chấp nhận.

Gia Cát Dự tý cho zui 😀

Đăng tải tại histoire des mathématiques | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Giới thiệu chủ đề nghiên cứu

Mình có viết giới thiệu một vài chủ đề nghiên cứu ở trang cá nhân của mình. Mình mới hoàn thành giới thiệu 2 chủ đề mà thôi. Mục đích chính là giới thiệu cho những bạn mới học như sinh viên.

  1. Bài toán nội suy Nevanlinna-Pick phổ.
  2. Họ chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình hoặc phân hình.
Đăng tải tại recherche | Thẻ | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Về một điểm chung trong ba môn Toán của năm thứ 3 (gồm Hình học xạ ảnh, Phương trình đạo hàm riêng, Lý thuyết Ga-loa)

Điểm chung đó là tư tưởng: khi nào thiếu thì mở rộng vùng nghiên cứu ra, và công việc tiếp theo là làm thế nào để quay về vùng ban đầu.

1) Trong hình học xạ ảnh có một mục về m-phẳng ảo, điểm thực, điểm ảo v.v. Câu chuyện của nó là như sau: đầu tiên ta có một không gian xạ ảnh thực. Không gian này cũng “thiếu” cái gì đó giống như phương trình đa thức hệ số thực không nhất thiết phải có nghiệm thực. Đối với phương trình đa thức, ta chỉ cần mở rộng trường từ trường thực sang trường phức, và khi đó có đủ nghiệm, theo định lý cơ bản của đại số. Sau đó muốn kiểm tra xem phương trình có nghiệm thực hay không thì phải dùng các công cụ khác: ví dụ một số phức là số thực khi và chỉ khi nó bằng liên hợp của chính nó.

Không gian xạ ảnh thực cũng vậy. Nó cũng thiếu một cái gì đó, cụ thể phải xem chương II về siêu mặt bậc hai và chương IV cuối cùng về các dạng hình học khác nhau trên không gian xạ ảnh.

Một cách tự nhiên, người ta mở rộng không gian xạ ảnh thực thành không gian xạ ảnh phức, và lúc này trường phức là đóng đại số, nên các phương trình đại số yên tâm là có nghiệm. Ở cuối chương I, giáo trình của Văn Như Cương bàn về việc mở rộng không gian xạ ảnh thực sang phức, và làm thế nào để quay trở lại không gian xạ ảnh thực. Đấy là mục đích của xoắn cuối chương I, giáo trình đã dẫn.

2) Lý thuyết Ga-loa, hay còn gọi là lý thuyết mở rộng trường. Ngay tên gọi là đã thấy điều đó. Nếu phương trình đại số thiếu nghiệm thì mở rộng trường đến khi nào có đủ nghiệm. Từ đó nảy sinh rất nhiều khái niệm mở rộng trường: mở rộng đại số, mở rộng hữu hạn, mở rộng chuẩn tắc, trường phân rã v.v.

3) Phương trình đạo hàm riêng. Phần này không học ở đại học, nhưng là phần quan trọng nếu muốn làm nghiên cứu sau này.

Cũng như phương trình đại số, mỗi phương trình đạo hàm riêng có thể không có nghiệm “đẹp”, nghĩa là hàm khả vi tới lớp nào đó. Để giải quyết sự “thiếu” này, người ta nghĩ ra một không gian mới to hơn, và giúp giải quyết việc thiếu nghiệm, đó là không gian các hàm yếu (còn gọi là hàm suy rộng, hoặc phân bố). Không gian này được định nghĩa nhờ sự quan sát công thức tích phân từng phần. Công này chắc là của Sobolev.

Vậy là việc thiếu đã được giải quyết. Công việc tiếp theo là quay trở lại vùng hàm được quan tâm, đó là hàm đẹp, hay hàm khả vi. Lúc đó nảy sinh các định lý về tính chính quy: đại khái là nếu có một toán tử vi phân P (ví dụ đạo hàm là toán tử vi phân), và f là hàm yếu thỏa mãn Pf là một hàm đẹp. Câu hỏi là f đẹp tới đâu?

Những kiến thức này rất quan trọng, không chỉ riêng gì PTĐHR. Trong hình học vi phân cũng hết sức cần thiết, để định nghĩa ra cái gọi là phân tích Hodge của không gian các dạng vi phân. Phần này những ai học hình học vi phân có mà phải học cong cả mông lên mấy kỳ may ra mới hiểu.

Đăng tải tại équations différentielles, géométrie affine-euclidienne-projective, théorie de Galois | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Một số cuốn sách Hình học xạ ảnh

Mình giới thiệu tiêu đề một vài cuốn sách về Hình học xạ ảnh mình cho là hấp dẫn, đáng đọc.

  1. Michèle Audin, Géométrie (Hình học, tiếng Pháp, có bản tiếng Anh nhưng dịch không hay lắm).
  2. Marcel Berger, Geometry tập I và II. Đây lả bản dịch tiếng Anh, bản gốc tiếng Pháp mình không biết vì không tìm được sách điện tử.
  3. Sidler, Géométrie Projective. Cuốn này dành cho việc luyện thi chứng chỉ hành nghề giáo viên ở Pháp. Và vì mục đích đó, nội dung chủ yếu bàn về không gian xạ ảnh ít chiều (1-3 chiều) và các phép biến đổi xạ ảnh.
  4. Coxeter, Projective Geometry. Mình có xem qua, nói chung là ngôn ngữ hơi khác, nên chưa có bình luận gì.
  5. Faulkner, Projective Geometry. Cuốn này mình cũng chỉ xem qua, nhưng có bàn về “cái tuyệt đối” giống giáo trình của Văn Như Cương, coi như là một tài liệu để tham khảo.
  6. Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm.
  7. D. Perrin, Géométrie projective. Đây là cuốn sách viết bằng tiếng Pháp gồm 6 phần, khá dài về hình học xạ ảnh. Có miễn phí trên trang web cá nhân của ông Perrin. Tác giả viết với mục đích chủ yếu quan tâm tới việc giảng dạy hình học ở phổ thông của Pháp.
Đăng tải tại géométrie affine-euclidienne-projective | Thẻ | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Về công thức La-ghe (Laguerre) trong chương IV hình học xạ ảnh, giáo trình của Văn Như Cương

Ngày xưa TTC cũng phải học cái công thức này nhưng chả hiểu cái cóc gì =)) vì cũng như nhiều sinh viên, mình không chăm học bài trên lớp cho lắm. Nhưng sau này thi thoảng thấy người ta nhắc lại công thức này nên cũng thử đọc lại xem nó có ý nghĩa gì. Hóa ra ý nghĩa của nó rất đơn giản, nhờ công thức Laguerre, ta có thể định nghĩa được hình học euclide trên mô hình không gian xạ ảnh.

Cụ thể như sau: đầu tiên ta có một mặt phẳng affine, làm đầy xạ ảnh bằng cách bổ sung thêm đường thẳng vô cùng (còn gọi là đường thẳng tuyệt đối). Trên đường thẳng tuyệt đối lấy hai điểm bất kỳ. Hai đường thẳng affine được gọi là vuông góc nếu hai đường thẳng này cắt đường thẳng tuyệt đối tại hai điểm tạo thành hàng điểm điều hòa với 2 điểm đã được chọn trên đường thẳng tuyệt đối.

Như vậy, hình học euclide được học ở môn hình học affine & euclide được quy về hình học xạ ảnh và người ta tìm cách phiên dịch hết sang ngôn ngữ xạ ảnh.

Ví dụ đường tròn là một đường bậc hai không suy biến đi qua hai điểm được chọn trên đường thẳng tuyệt đối.

Làm như vậy được cái gì? Cho phép tổng quát hóa hình học. Bạn không nhất thiết phải quan niệm sự vuông góc một cách quá trực giác mà bây giờ trở nên đại số hơn. Chỉ dùng điểm và đường thẳng, đều là các khái niệm đại số, là nghiệm của hệ phương trình, mà lại có thể định nghĩa được hình tròn, định nghĩa được sự vuông góc.

Như vậy cũng cho phép nghiên cứu hình học trên các trường khác nhau ví dụ trường phức, trường hữu hạn v.v.

Tóm lại, mình cũng hơi bất ngờ về những gì thu được sau khi đọc lại giáo trình Hình học xạ ảnh. Giờ mình hiểu vì sao D. Perrin lại bỏ công sức ra viết lại sách hình học xạ ảnh dài 6 phần trên trang web của ông, tuy nhiên chỉ dành cho ai biết tiếng Pháp mà thôi.

Đăng tải tại géométrie affine-euclidienne-projective | Thẻ | Bạn nghĩ gì về bài viết này?

Tóm tắt nội dung Giáo trình Hình học xạ ảnh của Văn Như Cương dành cho sinh viên sư phạm Toán

Chương I: nội dung cơ bản, đã có trong phần nháp bài giảng geo proj note 1 geo proj note 2 geo proj note 3 geo proj note 4.
Chương II: Định nghĩa đẳng cấu xạ ảnh; phân loại đẳng cấu xạ ảnh (đòi hỏi kiến thức đại số tuyến tính một chút ở phần ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính); phần tử sinh của nhóm các đẳng cấu xạ ảnh (giống như đẳng cự affine đều hợp thành của các phép phản chiếu (đối xứng qua siêu phẳng), thì một khái niệm tương tự phép phản chiếu sẽ được định nghĩa); định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (song ánh bảo toàn 3 điểm thẳng hàng là đẳng cấu xạ ảnh v.v.)

Chương III: chương này khác hẳn 2 chương trước, nhưng có tính ứng dụng cao, không thể thiếu để học chương IV (chương cuối).
– định nghĩa siêu mặt bậc hai và các khái niệm liên quan
– đưa ra khái niệm cực và đối cực, quen thuộc với những ai học chuyên Toán đã biết về cực và đối cực đối với đường tròn, thì nay là cực và đối cực đối với đường ô-van (mặt bậc hai không suy biến).
– các tính chất cực và đối cực đã biết ở hình học phổ thông không hề thay đổi và được thể hiện qua các định lý Steiner
– định lý Pascal, Brianchon là hai định lý đã biết ở chuyên Toán phổ thông, thì nay được chứng minh trong hình học xạ ảnh, và hai định lý là đối ngẫu của nhau nên chỉ cần chứng minh một định lý.

Chương IV: tác giả mô tả bằng cách nào có thể thu được nhiều loại hình học khác nhau trên cùng một không gian xạ ảnh, đó là đưa ra một siêu mặt bậc hai, gọi là cái tuyệt đối (nghe hơi triết học).

Sau đó áp dụng kiến thức đã có ở chương III về siêu mặt bậc hai, ta sẽ hiểu rõ hơn các hình học khác nhau: tác giả trình bày mang tính chất giới thiệu các hình học Euclid (khi dạng song tuyến tính xác định dương), hình học giả Euclid (khi dạng song tuyến tính không còn xác định dương); hình học Lobachesky (thuộc vào hình học giả Euclid nhưng dạng song tuyến tính đặc biệt, chỉ có 1 dấu trừ); hình học Riemann nghĩa hẹp.

Kết luận: cuốn sách trình bày rất nhiều chủ đề thú vị trong hình học xạ ảnh. Để hiểu được hết tất cả các phần trong cuốn sách đòi hỏi người học phải tính toán rất nhiều, thử đi thử lại các khái niệm mới được đề ra. Cá nhân tôi nghĩ sinh viên khá giỏi dành hết thời gian học cũng chỉ học hết chương I và II, tới III thì nắm đại khái. Đối với ai đã học chuyên Toán và biết cực và đối cực thì nắm được hết nội dung định lý nhưng không chứng minh được bằng xạ ảnh. Chương IV có lẽ không có ai nắm được, vì mỗi chủ đề là một ngành hình học, không dễ để có thể làm chủ trọn vẹn kiến thức trong vài tuần được.

Tôi sẽ thi thoảng bổ sung vào bài viết các thuật ngữ tiếng Anh tương ứng trong giáo trình, cũng như cả tên tác giả các định lý vì đều đã được phiên âm ra tiếng Việt. Công việc này không hề đơn giản, vì sau khi sử dụng google, tôi thấy có rất ít tài liệu bàn đúng nội dung mà trong giáo trình đã trình bày, trong giáo trình cũng không thấy nói tới tài liệu tham khảo.

  1. siêu diện lớp hai = dual quadric => nên dịch là siêu mặt bậc hai đối ngẫu cho dễ hiểu.
  2. Mác-Lôranh  = Colin Maclaurin, nhà toán học người Scotland. Định lý Maclaurin bàn trong giáo trình có lẽ là định lý sau, nhưng phát biểu hoàn toàn khác, nên không dễ để theo dõi. Một vài trang liên quan: http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Maclaurin.html
  3. Hình học Riemann nghĩa hẹp = Hình học elliptic.
  4. phép thấu xạ = perspective homography/perspective collineation
  5. thấu xạ đơn = homology; thấu xạ đặc biệt = elation => đây đều là những từ rất khó dịch.
  6. Ngoài các đẳng cấu xạ ảnh đã được nêu thì còn có phép co giãn (dilatation), phép xô nghiêng (transvection).
  7. Đẳng cấu xạ ảnh = homography => có thể dịch là đơn ứng. Theo từ điển tiếng Pháp, phép đơn ứng là phép biến mỗi đường thẳng tuyến tính của không gian vector này thành một đường thẳng tuyến tính của không gian vector kia. Nghe qua có thể mọi người buồn cười, vì thế thì cũng chính là định nghĩa ánh xạ xạ ảnh, nhưng vấn đề là khái niệm hình học xạ ảnh ra đời sớm hơn cả khái niệm không gian vector. Trước kia người ta đã nghiên cứu hình học xạ ảnh bằng cách quan niệm mỗi đường thẳng được bổ sung thêm điểm ở vô cùng.
Đăng tải tại géométrie affine-euclidienne-projective | Thẻ | 2 phản hồi