Mô-men quán tính (moment d’inertie)

Đăng trong 10 Tháng Bảy 2012 bởi TTC

Bài viết này chủ yếu là để cho vui, giải đáp trí tò mò về cái gọi là  “luật quán tính của Sylvester”. Tuy nhiên trong quá trình tự giải đáp, mình thấy có mấy thứ khác cũng hay, nên chép lại, và cố gắng viết theo ngôn ngữ Toán, vì ngôn ngữ vật lý hay mặc định không gian, nên điều đó khiến dân Toán như mình gặp khó khăn khi tiếp xúc với kiến thức vật lý. Bài viết hoàn toàn a-ma-tơ, có thể sai nghiêm trọng về kiến thức và thuật ngữ. Mình hoàn toàn vui vẻ tiếp nhận các góp ý, thậm chí biết ơn 😀

Mô-men quán tính và mô-men động lượng. Mô-men quán tính là đại lượng đo sự chống lại của vật thể đối với chuyển động quay. Giống như chuyển động thẳng, thì ta có khái niệm “khối quán tính” (masse inerte).

Xét trục \Delta, và chất điểm x (x là tọa độ luôn). Khi đó moment quán tính của x theo trục \Delta là m d^2(\Delta, x). Nếu ta có một vật thể, thì ta lấy tích phân. Cụ thể moment quán tính của vật thể K theo trục \Delta là \int_{K}d^2(\Delta, x) dm(x)  trong đó d m(x) là mật độ khối tại x, mà ta sẽ hiểu theo ngôn ngữ độ đo trong Toán. Ký hiệu đại lượng này là J_{\Delta}.

Ta phát biểu định lý Huygens:

Định lý Huygens : Giả sử \Delta đi qua tâm của vật thể K, và \Delta^{\prime} là trục khác song song với \Delta mà khoảng cách giữa hai trục là d. Khi đó ta có công thức J_{\Delta^{\prime}} = J_{\Delta} + md^2.

Công thức chứng minh không khó khăn gì bằng định nghĩa. Giả sử vật thể quay quanh trục với vận tốc góc là \omega, khi đó động của vật thể khi quay quanh trục \Delta (không nhất thiêt đi qua tâm) là \mathbb{E} = \frac{1}{2}J_{\Delta}\omega^2. Từ đó ta thấy hệ quả của định lý Huygens là nếu trục đi xuyên qua tâm của vật thể thì sẽ tốn ít năng lượng hơn để làm quay vật thể với vận tốc góc cho trước.

Bây giờ ta chuyển sang vấn đề mà TTC tò mò, đó là cái tên của luật quán tính trong định lý của Sylvester : mỗi dạng toàn phương đều tồn tại một cơ sở vector sao cho trong cơ sở đó, dạng toàn phương có dạng chính tắc v.v. (cụ thể trong sách đại số tuyến tính nào cũng phải đề cập).

Trên thực tế, Sylvester đã phân tích bài toán sau : đó là cho vật thể K (trong không gian 3 chiều), và một vận tốc góc v. Hỏi rằng với trục quay nào thì sẽ tốn ít năng lượng nhất để làm cho K quay quanh trục đó với vận tốc góc v ?

Cụ thể ta xét vật thể K gồm n điểm, trong một hệ quy chiếu Oxyz nào đó (tất nhiên là phải vuông góc).  Xét các đại lượng sau

I_{Ox} = \sum_{i}m_i (y_i^2 +z_i^2) ; I_{Oy} =\sum_{i}m_i (z_i^2 +x_i^2; I_{Oz} = \sum_{i}m_i (x_i^2 +y_i^2) ; I_{xy}= \sum_{i}m_i x_iy_i v.v.

Ma trận J_O = \begin{bmatrix}I_{Ox} &-I_{xy}&-I_{xz}\\ -I_{xy}& I_{Oy}&-I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}&I_{Oz}\end{bmatrix} được gọi là ma trận quán tính. Đây là ma trận đối xứng thực, nên nó có cơ sở gồm các vector riêng trực chuẩn, các vector này được gọi là các trục quán tính chính.  Giá trị riêng tương ứng được gọi là các moment quán tính chính, và nó chính là moment quán tính của vật thể K theo trục ý.

Dựa vào đây ta có thể biết với trục nào thì sẽ tốn ít năng lượng nhất truyền cho vật thể để làm quay vật thể đó quay trục với vận tốc cho trước. Từ đó dẫn tới việc tính toán trên các vật thể hình học quen thuộc : ví dụ ellipsoid, hình hộp chữ nhật v.v.

Bài này đã được đăng trong physique. Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

Bình luận về bài viết này