PTVP hệ số hằng và điều kiện ổn định (tiệm cận)

Đăng trong 12 Tháng Tư 2015 bởi TTC

Bài này viết dựa trên việc đọc lại cuốn sách của David Sanchez, Ordinary differential equations and Stability theory: An introduction. Đây là cuốn sách mà TTC đọc hồi còn là sinh viên và lúc ý đang có môn PTVP. Nhưng về cơ bản là thấy cuốn khá khó hiểu. Bây giờ nhìn lại thì hiểu ra là cuốn sách cố gắng trình bày cho những ai có rất ít hiểu biết về Đại số tuyến tính, và để lách qua những chỗ phải dùng ĐSTT, cuốn sách phải dùng một vài mẹo mực, điều đó gây khó hiểu cho người đọc.

I. Chuẩn bị về đại số tuyến tính.

1) Ma trận khối.
Đôi khi ta có thể nhìn ma trận cấu thành từ các khối, hơn là cấu thành từ các phần tử của nó. Ví dụ, mỗi ma trận vuông A cấp m+n, ta có thể nhìn nó như ma trận khối A =\begin{pmatrix}X_{n\times n} & Y_{n\times m}\\Z_{m\times n} & T_{m\times m}\end{pmatrix}.

Trường hợp hay gặp chính là trường hợp ma trận đường chéo khối, tức là Y = 0 và Z=0 trong ma trận trên. Khi đó, ta ký hiệu A = X\oplus T, và gọi A là tổng trực tiếp của hai ma trận vuông X và T.

Nhận xét: Nếu A là tổng trực tiếp của hai ma trận X và T, thì lũy thừa của A là tổng trực tiếp của lũy thừa của X và T, tức là A^k = X^k \oplus T^k với mọi k là số nguyên dương. Cái này là bài tập cho các bạn sinh viên.

2) Khối Jordan sơ cấp.
Khối Jordan (sơ cấp) cấp s ứng với giá trị \lambda, được ký hiệu là J_{\lambda, s}, là ma trận vuông cấp s, tam giác trên, có đường chéo chính gồm các giá trị \lambda, và đường chéo ở ngay trên đường chéo chính gồm các số 1, các ô khác đều bằng 0.

3) Dạng chuẩn Jordan.
Lý thuyết Jordan nói rằng: mọi ma trận vuông hệ số phức A đều đồng dạng với một ma trận khối có dạng là tổng trực tiếp của các khối Jordan nêu ở trên.

Tức là tồn tại ma trận vuông C khả nghịch, và các số phức \lambda_1,\ldots,\lambda_r không nhất thiết khác nhau và s_1,\ldots,s_r là các số nguyên dương (đóng vai trò là cấp của khối), sao cho A = C^{-1}\cdot (J_{\lambda_1,s_1}\oplus\ldots \oplus J_{\lambda_r,s_r})\cdot C. Ma trận J_{\lambda_1,s_1}\oplus\ldots \oplus J_{\lambda_r,s_r} được gọi là ma trận dạng chuẩn Jordan của ma trận A, trong bài này, ta ký hiệu là J.

Lý thuyết Jordan không chỉ nói chung chung như vậy mà còn chỉ ra các số s xuất hiện ở trên được tính bằng công thức như thế nào.

Hệ quả: Như vậy, lũy thừa của ma trận A sẽ được tính như sau: A^k = C^{-1}JC\cdot C^{-1}JC\cdots C^{-1}JC = C^{-1}J^kC. Như vậy, việc tính lũy thừa của ma trận A được quy về việc tính lũy thừa ma trận J, mà ma trận J là ma trận đường chéo khối (tức là tổng trực tiếp của các khối), nên lũy thừa của J chính là tổng trực tiếp của lũy thừa của các khối Jordan sơ cấp.

4) Tính lũy thừa khối Jordan sơ cấp như thế nào?

Việc này hóa ra lại trở nên đơn giản nhờ nhị thức Newton. Giả sử ta phải tính lũy thừa của J_{\lambda,s}.

Ta phân tích J_{\lambda, s} = \lambda I + N, trong đó I là ma trận đơn vị, cấp tương ứng, và N là phần còn lại ma trận. Chữ N đại diện cho chữ nilpotent, tức là lũy linh.

Bằng tính toán, ta biết là mỗi lần lũy thừa N lên, thì đường chéo trên nhích lên một bậc, và vì thế N^s =0.

Vì N và I giao hoán với nhau, nên ta có thể áp dụng được nhị thức Newton để tính lũy thừa (\lambda I + N)^k, và vì N lũy linh, nên thực tế nhị thức Newton này chỉ có s hạng tử mà thôi.

Bạn sinh viên nào chưa bao giờ tính lũy thừa của khối Jordan sơ cấp thì hãy tính thử một lần, để mường tượng phần tử xuất hiện trên khối lũy thừa có dạng gì.

5) Hàm \mathbf{\exp(A)} với \mathbf{A} là ma trận vuông.

Hàm mũ e^x có thể định nghĩa bởi chuỗi như sau \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} với mọi x\in \mathbb{C}.

Điều đó cũng gợi ý một hàm tương tự với ma trận, \displaystyle e^A = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối, nên bạn có thể yên tâm về định nghĩa. Với định nghĩa này, e^A là một ma trận vuông.

Vậy tính e^A như thế nào? Căn cứ vào công thức định nghĩa, ta suy ra điều sau \displaystyle e^A = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(C^{-1}JC)^n}{n!} = C^{-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J^n}{n!}\right)C = C^{-1}e^JC. Như vậy, trước tiên phải tính được e^J với J là ma trận dạng chuẩn Jordan.

Bạn đọc nên tự tính lấy e^J để mường tượng được hệ số của ma trận này. Gợi ý: đường chéo của nó gồm các phần tử có dạng e^{\lambda_i} với \lambda_i trong dạng chuẩn Jordan (thực tế đấy chính là giá trị riêng của A). Ở các vị trí khác thì công thức hơi khác, vì phụ thuộc vào cấu trúc dạng chuẩn Jordan: ví dụ có thể có các hạng tử dạng \frac{e^{\lambda_i}}{j!} với j\leq s_i.

6) Tuy nhiên, để áp dụng ĐSTT vào PTVP, thì bạn phải tính hàm mũ \mathbf{\exp(tA)} với \mathbf{t} là số thực (hoặc phức) bất kỳ.

Vẫn lợi dụng dạng chuẩn Jordan của A, ta tính như sau: e^{tA} = C^{-1}e^{tJ}C. Để tính e^{tJ}, bạn phải tính từng lũy thừa của tJ, cách làm vẫn như trên, và bạn tính được các hệ số của e^{tJ} có dạng như sau:
– đường chéo gồm các e^{t\lambda_i} và các ô khác có dạng t^j e^{t\lambda_i} với j\leq s_i-1.

Bạn đọc nên tự tính toán cụ thể để kiến thức vững chắc.

II. Chuẩn bị về khái niệm ổn-định và ổn-định-tiệm-cận trong phương trình vi phân.

1) Nghiệm ổn định.

Để đơn giản, ta chỉ xét phương trình \dot{x} = Ax với A là ma trận vuông cấp n hệ số hằng, x\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n là hàm cần tìm.

Nếu hàm cần tìm phải thỏa mãn x(t_0) = x_0 với t_0 và x_0 cho trước, thì (t_0,x_0) được gọi là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân \dot{x} = Ax.

Với mỗi điều kiện ban đầu (t_0,x_0), phương trình này có nghiệm, và ký hiệu là x(t;t_0,x_0), trong đó t là biến số thực.

Ta nói x(t;t_0,x_0) ổn định (theo lối nói đơn giản, trong sách định nghĩa đầy đủ hơn và phức tạp hơn chút) nếu với mọi \varepsilon >0, tồn tại \delta >0, sao cho với mọi \|x_0-x_1\| <\delta (ở đây \|\cdot \| là độ dài vector, thường được gọi là chuẩn), ta có \|x(t;t_0,x_0) - x(t;t_0,x_1)\|<\varepsilon với mọi t_0\leq t<\infty.

2) Nghiệm ổn định tiệm cận.

Ta nói x(t;t_0,x_0) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định, và ngoài ra \lim_{t\to \infty}\|x(t;t_0,x_0)-x(t;t_0,x_1)\|=0.

Tóm lại, ổn định tiệm cận là khái niệm mạnh hơn ổn định, tức là đòi hỏi nhiều điều kiện hơn.

III. Phát biểu kết quả chính.

Nếu mọi giá trị riêng của ma trận A có phần thực là âm thực sự, thì mọi nghiệm của \dot{x} = Ax là ổn định tiệm cận.

Bạn đọc có thể xem chứng minh trang 95, sách của Sanchez đã dẫn. Tuy nhiên, điều viết ở blog không giống trong sách.

Đầu tiên, đặt \Phi(t) = e^{tA}  với t\in \mathbb{R}. Đây là một hàm của t nhận giá trị ma trận vuông cấp n. Do định nghĩa của hàm mũ là một chuỗi hội tụ tuyệt đối, nên ta có thể đạo hàm từng hạng tử để thu được đạo hàm của \Phi, và ta thu được kết quả là \Phi(t)'= A\cdot e^{tA} = e^{tA}A. Ta suy ra \Phi'=A\Phi.

Tức là các cột của \Phi là các nghiệm của phương trình vi phân \dot{x} = Ax. Mà \Phi có n cột và ma trận \Phi là khả nghịch với mọi t, nên ta thu được n nghiệm của \dot{x} = Ax và độc lập tuyến tính.

Theo lý thuyết về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình dạng này thì hệ nghiệm này chính là hệ nghiệm cơ bản, và mọi nghiệm khác đều có thể biểu diễn dưới dạng t\mapsto \Phi(t)c_0 với c_0 là một vector cột trong \mathbb{R}^n.

Tóm lại, ta suy ra nghiệm của phương trình vi phân trên cho bởi công thức sau x(t;t_0,x_0) = \Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}x_0. Tới đây ta đã chỉ ra cụ thể công thức nghiệm của phương trình vi phân \dot{x} = Ax, và việc  kiểm tra tính ổn định (hoặc ổn định tiệm cận) trở nên dễ dàng hơn nếu tính được cụ thể \Phi(t).

Như đã nói, các hệ số của \Phi(t) gồm tổ hợp tuyến tính các hạng tử có dạng e^{t\lambda_i} và t^{j}e^{t\lambda_i} với j\leq s_i-1.

Mà ta biết là độ lớn của e^z với z là số phức phụ thuộc vào phần thực số phức, tức là |e^z|= e^{\mathrm{Re}(z)}.

Và khi \mathrm{Re}(z)<0, thì \lim_{t\to +\infty}t^j e^{tz} =0. Điều đó giải thích định lý phát biểu ở trên.

IV. Tự bình luận.

Vẫn còn nhiều vấn đề để bàn trong phương trình vi phân, tuy nhiên người viết không nghiên cứu chuyên ngành này, nên đây chỉ là kết quả của việc đọc lại giáo trình, nên không tránh được sự sơ sài.

Bài này đã được đăng trong équations différentielles và được gắn thẻ , , , . Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

1 Responses to PTVP hệ số hằng và điều kiện ổn định (tiệm cận)

  1. Pingback: Một vài gợi ý cho seminar sau hè 2015 | Thích Thì Chìu

Bình luận về bài viết này