Về bổ đề Zorn (bài viết cho người mới học)

Nếu bạn có thời gian ngồi đọc hết chương 1 cuốn sách của hai tác giả Hewitt, Stromberg, Real and abstract analysis, thì bạn không phải đọc bài này làm gì cả, vì những điều viết ở đây đều có trong đó, và ở mức độ sơ đẳng mà thôi. Ngoài ra ở đây cũng nhắc tới các dạng tương đương của bổ đề Zorn. Mặc dù khá sơ sài, nhưng nó cũng gợi ý cho những ai muốn tự học muốn học cái gì đó cho riêng họ mà lại có ích.

1) Phát biểu bổ đề Zorn

Nếu một tập sắp thứ tự nào đó có tính chất “mọi dây chuyền khác rỗng đều có phần tử chặn trên”, thì tập đó có ít nhất một phần tử cực đại.

Blog này không định đưa ra chứng minh sự tương đương của bổ đề Zorn với các phát biểu khác (như Tiên Đề Chọn, Nguyên lý tối đại Hausdorff v.v.), vì nó phức tạp, mà thông qua ví dụ và giải thích thuật ngữ để người đọc nắm được nội dung và áp dụng của bổ đề Zorn. Về cơ bản, bổ đề Zorn là chi tiết kỹ thuật của lý thuyết tập hợp mà thôi. Nếu bạn thao tác với các bài toán đơn giản một cách kỹ càng thì bạn sẽ thấy bổ đề Zorn là điều tự nhiên nghĩ tới.

2) Giải thích thuật ngữ

– tập được gọi là sắp thứ tự nếu nó có một quan hệ thứ tự, thường ký hiệu là hoặc   Quan hệ thứ tự trên là một tập con của tích Descartes thỏa mãn tính chất phản xạ, phản xứng (tức là nếu và thì ), và bắc cầu.

– một số giáo trình dùng thuật ngữ “sắp thứ tự bộ phận” thay cho thuật ngữ “sắp thứ tự” nêu ở trên. Lý do cho từ bộ phận là: trong tập sắp thứ tự (với nghĩa ở trên), có thể tồn tại các phần tử và sao cho hai phần tử này không thể so sánh với nhau được.

– trong trường hợp mà hai phần tử bất kỳ và đều có thể so sánh được, tức là hoặc hoặc thì ta nói là tập sắp thứ tự toàn phần.

– một dây chuyền trong tập sắp thứ tự là một tập con của thỏa mãn thứ tự đã có trên hạn chế lên tập này lập thành một tập sắp thứ tự toàn phần.

– phần tử được gọi là cực đại nếu với thỏa mãn thì Phần tử cực đại không nhất thiết phải tồn tại. Ví dụ tập cùng thứ tự thông thường không có phần tử cực đại. Phần tử cực đại cũng không nhất thiết duy nhất (nếu tồn tại).

Cập nhật: – Cho là tập sắp thứ tự và là một tập con. Phần tử được gọi là chặn trên của nếu với mọi

3) Thứ tự nào hay được dùng nhất?

– ngoài các thứ tự thông thường của các tập con của tập số thực, thì thứ tự hay dùng nhất chính là thứ tự cho bởi quan hệ bao hàm. Cụ thể như sau: Cho là một tập bất kỳ. Khi đó, trên tập các tập con của ký hiệu là ta trang bị thứ tự sau: Nếu ta nói nhỏ hơn hoặc bằng nếu

Bạn hoàn toàn có thể định nghĩa theo kiểu ngược lại: nhỏ hơn hoặc bằng nếu Điều đó phụ thuộc vào nhu cầu trong thực tế mà thôi.

– một ứng dụng của quan hệ thứ tự này chính là định nghĩa hội tụ Moore-Smith cho lưới trong không gian topo.

4) Một vài ứng dụng đơn giản của Bổ đề Zorn

Mục này trình bày một vài kết quả sưu tầm trong quá trình học, và theo như tôi nhớ đều có trong sách của Hewitt, Stromberg.

Bài 1: Cho và là hai tập khác rỗng. Khi đó luôn tồn tại một đơn ánh hoặc một toàn ánh từ vào

Giải: Xét tập các cặp trong đó là tập con của và là một đơn ánh. Ta thấy là là khác rỗng, vì ta có thể chọn là tập 1 phần tử và dễ dàng thiết kế một đơn ánh.

Ta trang bị cho quan hệ thứ tự như sau: khi và chỉ khi và

Ta chứng minh cùng với thứ tự này thỏa mãn bổ đề Zorn. Giả sử là một dây chuyền. Khi đó đặt và xây dựng như sau: nếu ta đặt Do đây là dây chuyền, nên việc đặt như vậy không phụ thuộc vào

Khi đó (bạn đọc nên tự chứng minh điều đó), và là chặn trên của dây chuyền trên.

Như vậy, theo bổ đề Zorn, có phần tử cực đại, ký hiệu là nào đó. Nếu thì ta thu được một đơn ánh

Nếu và thì ta lấy một phần tử và và thiết kế như sau: và Đây là đơn ánh mới xác định trên tập to hơn mâu thuẫn với tính chất cực đại của Mâu thuẫn này nói rằng Ta chọn một phần tử bất kỳ Và với mọi ta đặt và g hạn chế lên chính là Khi đó là một toàn ánh.

Bài 2: Mọi không gian vector đều có một cơ sở (và cơ sở đó được gọi là cơ sở Hamel).

Với không gian hữu hạn chiều, các bạn đã học cách chứng minh trong bất kỳ giáo trình ĐSTT chuẩn mực, bằng cách là bổ sung dần các vector độc lập tuyến tính để thu được tập độc lập tuyến tính cực đại, và từ đó suy ra đó phải là cơ sở.

Cách làm đó vẫn có thể tiến hành với sự trợ giúp của bổ đề Zorn.

Giải: Ký hiệu là tập các tập con độc lập tuyến tính của không gian vector đang xét. Ta cũng lại xét quan hệ thứ tự bao hàm: tập này nhỏ hơn tập kia nếu nó là tập con. Dễ chứng minh cũng thỏa mãn bổ đề Zorn, và vì thế có phần tử tối đại. Phần tử tối đại này là một tập các vector độc lập tuyến tính trong Nếu tập này không sinh ra thì ta có thể bổ sung thêm 1 vector để tập đó vẫn độc lập tuyến tính, và vì thế nó không còn là cực đại. Điều đó là mâu thuẫn.

Tiếp theo là ví dụ về ideal. Cái này có lẽ không có trong sách của Hewitt, Stromberg.

Bài 3: Cho là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó mọi ideal thực sự của đều nằm trong một ideal cực đại.

Bạn có thể xem lời giải ở file này (mặc dù tôi cũng chỉ xem qua phát biểu thôi). Lời giải mà tôi trình bày ở đây có thể giống trong đó.

Giải: Giả sử là ideal đang xét. Ký hiệu là tập các ideal thực sự của mà chứa Trang bị cho tập này thứ tự bởi bao hàm tập hợp.  Ta phải chứng minh tập này thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn.

Giả sử là một dây chuyền trong Khi đó đặt là hợp của tất cả các phần tử của dây chuyền

Ta phải chứng minh Việc này sẽ dành cho bạn đọc, vì nó khá đơn giản. Lưu ý là điều kiện vành có đơn vị tham gia vào chứng minh ở chỗ: phần tử không nằm trong bất kỳ ideal thực sự nào, nên 1 cũng không thuộc vì lẽ đó mà chứng minh được

Một bài tập cho các bạn áp dụng bổ đề Zorn.

Bài 4: Cho là một vành giao hoán có đơn vị và là tập nhân tính. Tức là và với mọi thì Nếu là một ideal của và thì tồn tại ideal nguyên tố sao cho và

Nếu bạn đọc được tiếng Pháp thì có thể đọc lời giải ở đây.